الجبر الخطي العشوائي والخالي من المصفوفات للتعلم الآلي واسع النطاق — خوارزميات وتطبيق

مقدمة ونظرة عامة

التعامل مع مصفوفات كبيرة جداً أو مشغلات خطية لا تسع في الذاكرة هو تحدٍّ شائع في نماذج التعلم الآلي واسعة النطاق. تقنيات الجبر الخطي العشوائي (Randomized Numerical Linear Algebra — RandNLA) تستخدم أخذ عينات وعمل إسقاطات عشوائية لبناء تقريب منخفض الرتبة أو مُسبق شرط لحل أنظمة خطية وتقدير القيم الذاتية بطريقة أسرع وبحِمل حسابية أقل مقارنة بالخوارزميات الكلاسيكية. هذه الأدوات أصبحت جزءاً أساسياً من حزمة الخوارزميات التي تُمكّن تحليل البيانات على مقاييس الحوسبة الحديثة.

في مسار موازٍ، نماذج "خالية من المصفوفات" (matrix‑free) تخفي عناصر المصفوفة وتُعرّف فقط عملية ضرب المصفوفة في متجه؛ هذا يسمح باستدعاء محزّمات كريلّوف (Krylov) والمتجهات المتكررة دون بناء المصفوفة صراحةً، وهو أسلوب فعّال للمعالجات الكبيرة أو عندما تكون المصفوفة معرَّفة عبر دالة/محاكاة.

هذا المقال يقدّم الأُسس النظرية المختصرة، خوارزميات عملية (مثل randomized SVD، sketch‑and‑precondition)، أمثلة تنفيذية بمكتبات شائعة، ونصائح حول الاستقرار والأداء.

خوارزميات أساسية: من randomized SVD إلى sketch‑and‑precondition

القطعُ الأساسي في RandNLA هو استخراج فضاء نطاق تقريبي للمصفوفة عبر ضربات عشوائية (random projections) ثم إجراء تحليل ثابت على المصفوفة المُصغّرة. خوارزمية randomized SVD التي وصفها Halko وآخرون تسمح باستخراج القيم والمتجهات المفردة المُقتطعة بسرعة كبيرة على المصفوفات الضخمة، مع خيارات تحسين الدقة باستخدام power iterations أو زيادة عدد المتجهات العشوائية للعَيّنة.

توجد فئة مهمة من الأساليب تسمى "sketch‑and‑precondition": تُحوِّل مشكلة المربعات الصغرى إلى مشكلة مصغّرة عن طريق رسم عشوائي (sketch) ثم تستخدم مُسبق شرط ناتج عن الرسم لتسريع حل النظام الأصلي بواسطة مُحللات تكرارية. أمثلة مشهورة تضم Blendenpik وLSRN؛ LSRN يستخدم إسقاطاً عشوائياً طبيعي التوزيع (random normal projection) لتوليد مُسبق شرط قوي وفعّال في الحوسبة الموزّعة. هذه الأساليب غالباً ما تحقق سرعة كبيرة مع ضمانات نظرية على شرطية النظام بعد التهيئة.

تقنيات Sketch الشائعة:

• الأسقاطات غير المهيكلة (Gaussian, SRHT: Subsampled Randomized Hadamard Transform).
• العينات القائمة على درجات الحرّصيّة (leverage‑score sampling) أو عمليات اختيار تعتمد DPPs لتحسين جودة العيّنات.
• count‑sketch وsparse embeddings للحفاظ على كفاءة الذاكرة والزمن في حالات البيانات المتناثرة.

النتيجة العملية: عندما تكون الرتبة الفعّالة للمصفوفة صغيرة أو عندما تريد فقط k مُركّباً رئيسياً، فإن randomized SVD أو الرسم المسبق يوفّران وقتاً ذا تعقيد أقرب إلى O(nnz(A) + n k^2) بدلاً من O(n^3) التقليدية في تحليل SVD الكامل، مع فروق في الثبات تعتمد على التفاصيل العددية وطريقة الرسم.

تنفيذ عملي: مكتبات، أنماط برمجة، واعتبارات استقرارية

مكتبات عملية مفيدة:

• scikit‑learn يحتوي على دالة randomized_svd لتنفيذ تقريبات SVD مُقَطَّعة بسرعة على مصفوفات بحجم متوسط إلى كبير. هذه الدالة تتيح تحكماً في n_oversamples وn_iter لتحسين التوازن بين الدقة والسرعة.
• SciPy يوفر واجهة LinearOperator لتمثيل مشغلات "خالية من المصفوفات" بحيث يمكن استخدام مُحللات تكرارية (CG, GMRES, LSQR) دون بناء المصفوفة صراحةً. هذا مفيد جداً للعمليات التي تُعرَّف عبر دالة ضرب A@v.
• أطر تفاضلية: PyTorch وJAX تسهلان حساب products شبه المصفوفية مثل Jacobian‑vector وVector‑Jacobian products عبر واجهات jvp/vjp أو واجهات وظيفية متقدمة، مما يسهّل تنفيذ استراتيجيات matrix‑free للحسابات الهيسكانية أو مُحللات نيوتن‑خالية من المصفوفات.

نِصَح تنفيذية سريعة:

1. نمذجة المشغل على شكل دالة matvec(v) مع واجهة تُعيد A@v وA^T@u إن وُجدت الحاجة؛ استخدم LinearOperator أو ما يماثلها بدلًا من بناء المصفوفة عندما تكون الذاكرة محدودة.
2. ابدأ بـ randomized SVD مع n_oversamples≈10 وn_iter صغير (0–2) لفحص جودة التقريب؛ زد القيم عند الحاجة للدقة.
3. للمربعات الصغرى الكبيرة استخدم sketch‑and‑precondition (Blendenpik/LSRN) قبل تطبيق مُحلل تكراري مثل LSQR أو Chebyshev‑accelerated iterations.
4. اختبر الاستقرار العددي: بعض نتائج 2024 تشير إلى أن مُحللات sketch‑and‑precondition يمكن أن تكون مستقرة رقميًا إذا طبقت بعناية (اختيار حجم الرسم والدقة العائمة)، لكن هناك عمل حديث يدرس شروط الثبات ويقترح تحسينات عملية. راجع الأدبيات الحديثة قبل اعتماد الحل الإنتاجي.

مثال كود مختصر (مفهومي) — استخدام SciPy LinearOperator مع حل LSQR:

<code>from scipy.sparse.linalg import LinearOperator, lsqr

def mv(v):
    # user-defined fast A@v (e.g., convolution, kernel multiply)
    return fast_apply_A(v)

Aop = LinearOperator((m,n), matvec=mv, dtype=float)
result = lsqr(Aop, b)
</code>

هذا النمط يسمح بدمج تقنيات الرسم العشوائي في مرحلة ما قبل المعالجة دون نسخ أو تخزين A كاملة.

الخاتمة والتوصيات للبحث والتطبيق

الجمع بين طرق RandNLA والنماذج matrix‑free يقدّم ورشة عمل قوية لتطبيقات ML واسعة النطاق: تسريع تقريبات PCA، تعليمية أسرع للـkernel methods، وحلول فعّالة لمسائل الانحدار والانعكاس. للانتقال إلى الإنتاج ننصح:

• إجراء اختبارات مقارنة على حالات حقيقية/تركيبات بياناتكم للتحقق من الجودة مقابل الزمن.
• مراقبة شرطية الأنظمة بعد المُسبق شرط وقياس أثر الرسم على دقة النماذج.
• الاطّلاع على الأدبيات الحديثة حول الاستقرار العددي (أبحاث 2023–2024 تناقش تحسينات في ثبات sketch‑based solvers).

المراجع المنهجية المُستحسنة: مقالات مرجعية مثل Halko et al. (2009) ومراجعات أحدث من Martinsson & Tropp (2020) وكتب/ملاحظات Mahoney تساعد على بناء فهم نظري متين قبل التطبيق.