القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر: حاسبة بالخطوات
اكتب عددين أو ثلاثة فتحصل على القاسم المشترك الأكبر (ق.م.أ) والمضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ) بطريقتين: التحليل إلى العوامل الأولية، وخوارزمية إقليدس خطوة بخطوة.
احسب ق.م.أ و م.م.أ
بالتحليل إلى العوامل الأولية
- ٨٤=٢٢×٣×٧
- ٣٦=٢٢×٣٢
ق.م.أ = حاصل ضرب العوامل المشتركة بأصغر أُسّ، وم.م.أ = حاصل ضرب كل العوامل بأكبر أُسّ.
بخوارزمية إقليدس (لأول عددين)
- ٨٤=٣٦×٢+١٢
- ٣٦=١٢×٣+٠
نقسم الأكبر على الأصغر ثم نكرر بالباقي حتى يصبح الباقي صفرًا؛ آخر مقسوم عليه = ١٢.
تحقق: ١٢×٢٥٢=٨٤×٣٦=٣٠٢٤
متى نحتاج كلًّا منهما؟
- ق.م.أ لتبسيط الكسور: ٨٤/٣٦ نقسم بسطها ومقامها على ق.م.أ = ١٢ فتصبح ٧/٣.
- م.م.أ لتوحيد المقامات عند جمع الكسور، ولمسائل التكرار: حافلتان تمران كل ١٢ و١٨ دقيقة تلتقيان كل ٣٦ دقيقة.
خوارزمية إقليدس
أقدم خوارزمية ما زالت تُستعمل، وردت في كتاب «الأصول» لإقليدس: اقسم الأكبر على الأصغر، ثم اقسم المقسوم عليه على الباقي، وكرر حتى يصبح الباقي صفرًا؛ آخر مقسوم عليه هو ق.م.أ. وهي أسرع بكثير من التحليل عندما تكون الأعداد كبيرة.
علاقة تربطهما
لعددين فقط: ق.م.أ × م.م.أ = حاصل ضرب العددين. فإذا عرفت أحدهما وجدت الآخر بالقسمة: م.م.أ(٨٤، ٣٦)=٨٤×٣٦÷١٢=٢٥٢.
أسئلة شائعة
ما ق.م.أ لعددين أوليين؟
١ دائمًا، ويُسمّيان «أوليين فيما بينهما»، ومضاعفهما المشترك الأصغر حاصل ضربهما.
هل يمكن أن يكون م.م.أ أصغر من أحد العددين؟
لا، فهو مضاعف لكل منهما، لذلك يساوي أكبرهما على الأقل.
في رياضيات.com أيضًا
عنوان عربي بالكامل — اكتبه كما تنطقه في أي متصفح.
بعض التطبيقات تعرضه بصيغته التقنية xn--mgbajz0a2jc.com، وهو العنوان نفسه.
رياضيات.com متاح للاستحواذ
الكلمة التي يكتبها ملايين الطلاب وأولياء الأمور كل عام دراسي — اسم واحد لمادة كاملة، لمنصة تعليمية أو ناشر أو مدرسة رقمية في العالم العربي.
السعر المطلوب $125,000 · نرحّب بالعروض